?

自從萊布尼茨和牛頓發(fā)展了微積分，科學(xué)界和所有學(xué)科就不一樣了。從物理學(xué)和工程學(xué)到生物學(xué)和數(shù)學(xué)，微積分作為一種尋找真理不可或缺的工具滲透到現(xiàn)代科學(xué)的方方面面。然而，看待這個問題有不同的方法。從物理和實踐的角度來看，它與變化率的概念有關(guān)，通過用微分方程的形式寫下來的定律可以應(yīng)用于物理學(xué)。

從純數(shù)學(xué)的角度來看，我們有幾種看待它的方法。對一個函數(shù)求導(dǎo)可以看作是函數(shù)空間到另一個空間的變換。這個變換是一種d/dx的映射，具有以下兩個重要性質(zhì)：

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這些性質(zhì)統(tǒng)稱為線性。同理，實函數(shù)f(x) = kx，其中k是實數(shù)，也滿足上述的線性條件：

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它也與線性代數(shù)中的線性變換有相似之處，其中研究對象是向量空間之間的線性變換，例如矩陣。矩陣也滿足線性條件。第一個性質(zhì)非常重要，它保留了函數(shù)空間關(guān)于加法運算的結(jié)構(gòu)。這就像一本介于兩個世界之間的字典。將加法結(jié)構(gòu)從一個世界轉(zhuǎn)換到另一個世界。這種函數(shù)稱為同態(tài)。

在本文中，我們將定義另一種運算符。函數(shù)空間之間的變換，不是類似于上面的線性函數(shù)，而是類似于對數(shù)函數(shù)。我們還將推導(dǎo)出與上面定義的微分算子類似的各種規(guī)則，如乘積規(guī)則、鏈?zhǔn)揭?guī)則等。結(jié)果證明，我們的算子也表現(xiàn)出同態(tài)行為，但從一個乘性函數(shù)空間到一個加性函數(shù)空間。

我所討論的運算符叫做對數(shù)導(dǎo)數(shù)，由以下定義：

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在使用這個運算符之前，讓我們先說明它的一些好的性質(zhì)。一個很自然的問題是它對常數(shù)有什么影響。顯而易見：

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因為它繼承了正規(guī)微分算子。最重要的性質(zhì)是：

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你可以用定義和通常的微分規(guī)則來證明。當(dāng)一個常數(shù)乘以一個函數(shù)時，當(dāng)我們對它進(jìn)行對數(shù)微分時這個常數(shù)就消失了。

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這也意味著我們可以在操作符參數(shù)中改變函數(shù)之間減法的順序。

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現(xiàn)在我們來說明這個算子的鏈?zhǔn)椒▌t。

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推導(dǎo)過程很簡單。

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它很像微分算子的鏈?zhǔn)椒▌t。我們還有冪法則：

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特別地，我們有以下兩個有用的公式：

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在這一點上，你可能想知道這個算子的特征函數(shù)是什么。對于對數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)果是：

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但是對于對數(shù)導(dǎo)數(shù)，事實證明：

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對于所有常數(shù)c，使這些函數(shù)成為函數(shù)空間中的特征元素，我們定義了運算符?，F(xiàn)在我們的工具箱里有了對數(shù)導(dǎo)數(shù)的一些規(guī)則，讓我們使用它們。我們先求正弦函數(shù)的對數(shù)導(dǎo)數(shù)。利用該定義，我們很快得到：

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你們可能還記得sin函數(shù)可以寫成：

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現(xiàn)在，利用上面的規(guī)則我們可以把無窮積變換成一個級數(shù)，通過對兩邊取對數(shù)導(dǎo)數(shù)，我們得到：

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我們已經(jīng)使用了上面定義的一些規(guī)則。分別是冪法則，乘積求和，交換減法，消失常數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t。從技術(shù)上講，我們需要一個論證來確保乘積求和法則對無窮乘積也成立。事實證明，下面這些就足夠了。

我會先陳述，然后再解釋。

• 乘積中的因子必須是復(fù)平面的開子集D上的全純因子
• D上沒有一個因子等于0
• 乘積局部一致收斂于函數(shù)f

如果這些條件成立，那么我們通過對兩邊取對數(shù)導(dǎo)數(shù)得到的對應(yīng)級數(shù)在下面的集合上局部一致收斂。

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這里的反斜杠表示集差。這是什么意思?

首先，復(fù)函數(shù)是全純的，這意味著它是“復(fù)可微的”。這是一個比實數(shù)微分更強的要。求事實上，如果一個復(fù)函數(shù)是可微的那么它就無限次可微，這意味著它是解析的。對于一般的實際函數(shù)來說，這是不正確的。

D上的因子不等于零就意味著它沒有將開集映射為零。所以非正式地說，一個全純函數(shù)在它的定義域的任意小子集中具有全局信息。上面的恒等定理是非常重要的，它被用于證明一些解析函數(shù)有解析延拓這一事實。

如果我們回到得到的級數(shù)，如果沒有π在分母上就好了，但是替換和乘法用一種更著名的形式揭示了這個恒等式，也就是：

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萊昂哈德·歐拉是第一個發(fā)現(xiàn)這個級數(shù)的人。他還用了無窮積表示正弦函數(shù)。利用這個算子的規(guī)則，我們可以從無窮積中找到很多其他的級數(shù)。



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