數(shù)學科普：哥德巴赫猜想的源起與突破
編者注：閱讀本文時，可以跳過公式，不會影響理解。
自1742年提出至今，哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）已經(jīng)困擾數(shù)學界長達三個世紀之久。作為數(shù)論領域存在時間最久的未解難題之一，哥德巴赫猜想儼然成為一面旗幟，激勵著無數(shù)數(shù)學家向著真理的彼岸前行。
對不少人來說，知道哥德巴赫猜想，離不開兩個人，陳景潤和徐遲。后者那篇著名的報告文學，讓很多人知道了有位中國數(shù)學家，用了幾大麻袋演算紙，將哥德巴赫猜想的證明往前推進了一步。
但陳景潤究竟在這個領域取得了多大的進展呢？讓我們從哥德巴赫猜想本身說起。

源起：素數(shù)引發(fā)的懸案

一個大于1的自然數(shù)，如果除了1與其自身外，無法被其他自然數(shù)整除，那么稱這個自然數(shù)為素數(shù)（又稱質數(shù)）；大于1的自然數(shù)若不是素數(shù)，則稱之為合數(shù)。
今天故事的發(fā)端，就是這類被稱為"素數(shù)"的數(shù)字。早在古埃及時代，人們似乎就已經(jīng)意識到了素數(shù)的存在[1]。而古希臘的數(shù)學家們很早就已經(jīng)開始對素數(shù)進行系統(tǒng)化的研究。例如歐幾里得在《幾何原本》中就已經(jīng)證明了無限多個素數(shù)的存在[2]以及算術基本定理（即正整數(shù)的唯一分解定理，指出任何大于1的自然都可以唯一地寫成若干個質數(shù)的乘積）[3]。而埃拉托斯特尼提出的篩法則為找出一定范圍內所有的素數(shù)提供了可行的思路[4]。 古希臘數(shù)學家、"幾何學之父"歐幾里得（左）與數(shù)學家、地理學家、天文學家埃拉托斯特尼（右）。前者在其著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數(shù)學的基礎。后者設計出了經(jīng)緯度系統(tǒng)，并計算出地球的直徑。 埃拉托斯特尼篩法。篩法的原理十分簡單，計算者從2開始，將每個素數(shù)的倍數(shù)篩出，記作合數(shù)。埃拉托斯特尼篩法是列出所有小素數(shù)最有效的方法之一。
隨著對素數(shù)理解的深入，素數(shù)的諸多奇特性質被人們發(fā)掘出來。1742年6月7日，普魯士數(shù)學家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉的信中，提到了自己有關素數(shù)的一個發(fā)現(xiàn)：任一大于2的整數(shù)都可以寫成三個質數(shù)之和。值得一提的是，當時歐洲數(shù)學界約定1也是素數(shù)。所以換成現(xiàn)代的數(shù)學語言，即"任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質數(shù)之和"。 將偶數(shù)表示為兩個素數(shù)的和。截至2012年4月，數(shù)學家已經(jīng)驗證了4乘以10的18次方以內的偶數(shù)，沒有發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想的反例[5]。
哥德巴赫無法確認這一發(fā)現(xiàn)的普適性，所以他寄希望于歐拉可以給出證明。歐拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的發(fā)現(xiàn)，并給 出了猜想的等價版本:
任一大于2的偶數(shù)，都可表示成兩個素數(shù)之和。
這也是現(xiàn)在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦稱為"強哥德巴赫猜想"或"關于偶數(shù)的哥德巴赫猜想"。歐拉認為可以將這一猜想視為定理，只可惜他也無法給出猜想的證明。 由"強哥德巴赫猜想"，可以推出：
任一大于5的奇數(shù)都可寫成三個素數(shù)之和。
這也稱為"弱哥德巴赫猜想"或"關于奇數(shù)的哥德巴赫猜想"。當然如果"強哥德巴赫猜想"可以被證明，"弱哥德巴赫猜想"也就迎刃而解。

沉寂：難以逾越的高山

哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數(shù)學難題相比。
——戈弗雷·哈羅德·哈代
哥德巴赫猜想一直以來都深受業(yè)余數(shù)學愛好者的青睞，一個很重要的原因就是其表述十分簡潔易懂。然而猜想的證明實際上是極為困難的。自1742年猜想被正式提出后的160余年里，數(shù)學家苦苦探尋，都沒有取得任何實質性的進展，更多的只是提出一些等價的命題，或者是對猜想進行數(shù)值驗證。
1900年，著名數(shù)學家希爾伯特在第二屆國際數(shù)學家大會上提出的著名的二十三個問題，其中第八個問題就涉及三個有關素數(shù)的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想。至今上述三個猜想的研究雖然較20世紀初已經(jīng)有了長足的進展，甚至有弱化的情況已經(jīng)被證明，但三個問題本身均仍未被解決。 參加學術會議的希爾伯特。1900年，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學家大會上作了題為《數(shù)學問題》的演講，提出了23個最重要的數(shù)學問題。希爾伯特問題在相當一段時間內引導了世界數(shù)學研究的方向，有力地推動了20世紀數(shù)學的發(fā)展。在許多數(shù)學家努力下，希爾伯特問題中的大多數(shù)在20世紀中得到了解決。
然而這長達160余年的探索并非毫無成果。由于歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等數(shù)學家在數(shù)論與函數(shù)論領域的突破性研究，為之后以哥德巴赫為代表的數(shù)論研究打下了堅實的基礎。

突破：劃破夜空的曙光

數(shù)學是科學中的皇后，而數(shù)論是數(shù)學中的皇后。
——卡爾·弗雷德里?！じ咚?br> 問題真正的實質性進展出現(xiàn)在二十世紀20年代。當時出現(xiàn)了兩種代表性的思路，一種是英國數(shù)學家哈代與李特爾伍德在1923年論文中使用的"哈代-李特爾伍德圓法"[6]，另一種是挪威數(shù)學家布朗（Viggo Brun）使用的"布朗篩法"[7,8]。
哈代（左）、李特爾伍德（中）與布朗（右）。哈代，英國數(shù)學家，二十世紀英國分析學派的代表人物，其研究對后世分析學和數(shù)論的發(fā)展有深刻的影響。李利特爾伍德，英國數(shù)學家，研究領域涵蓋數(shù)論和數(shù)學分析，與哈代有著長達35年的合作。布朗，挪威數(shù)學家，其在數(shù)論領域的工作極大地推動了哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想等的研究。 借助上述方法，哈代和李特爾伍德在1923年的論文中證明了"在假設廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數(shù)都能表示為三個素數(shù)的和以及幾乎每一個充分大的偶數(shù)都能表示成兩個素數(shù)的和"[6]。這里的"廣義黎曼猜想"，指的是用狄利克雷L函數(shù)代替黎曼猜想中的黎曼ζ函數(shù)，其他表述不變。哈代和李特爾伍德的工作使哥德巴赫猜想的證明向前邁進了一大步。 利用上述方法，布朗在1919年證明，"每個充分大的偶數(shù)都可以寫成兩個數(shù)之和，并且這兩個數(shù)每個都是不超過9個素因數(shù)的乘積"[7]，所以上述結論也被記作"9+9"。按照布朗的思路，如果最終可以將素因數(shù)的個數(shù)縮減至1個，即最終證明"1+1"，那么也就意味著證明了哥德巴赫猜想。

沖刺：鼓舞人心的號角

陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。
——安德烈·韋伊
上文提到的兩種思路都在二十世紀都得到了極大的發(fā)展。這也極大地推動了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的證明工作。1937年蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）在對于弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10]。他在圓法的基礎上，去掉了哈代和李特爾伍德證明中對于廣義黎曼猜想的依賴，完全證明了"充分大的奇素數(shù)都能寫成三個素數(shù)的和"，即"哥德巴赫-維諾格拉多夫定理"。不過維諾格拉多夫無法給出"充分大"的下限，所以找到這一下限便成為了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。2013年秘魯數(shù)學家哈洛德·賀歐夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功將維諾格拉多夫"充分大"的下限縮小至10的29次方左右，通過計算機驗證在此之下的所有奇數(shù)，結果無一例外都符合猜想，從而最終完成了弱哥德巴赫猜想的證明[11]。
維諾格拉多夫（左）與哈洛德·賀歐夫各特（右）。伊萬·馬特維耶維奇·維諾格拉多夫，蘇聯(lián)解析數(shù)論專家，斯捷克洛夫數(shù)學研究所所長。哈洛德·賀歐夫各特，秘魯數(shù)學家，法國國家科學研究院和巴黎高等師范學院研究員。
相比較而言，強哥德巴赫猜想的研究困難相對更大。不過二十世紀上半葉以來，數(shù)學家遵照布朗篩法的研究思路，也取得了長足的進展。在布朗證明"9+9"后不久，1924年德裔美籍數(shù)學家拉德馬赫（Hans Adolph Rademacher）成功證明了"7+7"[12]，1932年德國數(shù)學家埃斯特曼（Theodor Estermann）證明了"6+6"[13]，蘇聯(lián)數(shù)學家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）于1938年和1940年證明了分別證明了"5+5"與"4+4"[10]。
布朗篩法較以往的數(shù)論方法而言有很強的組合數(shù)學特征，應用起來比較復雜。所以在研究的過程中，數(shù)學家不斷對原有的篩法進行改進?？紤]到以往的證明中，總是將命題"a+b"與對一個篩函數(shù)的估計直接聯(lián)系起來，得到的結果相對較弱。1941年，庫恩（P. Kuhn）提出了"加權篩法"，借此我們可以在同樣的篩函數(shù)上、下界估計的基礎上得到強結果。例如庫恩于1954年就給出了"a+b<7"[8]，即每個偶數(shù)都可以寫成兩個數(shù)之和，使得它們各自的素因數(shù)個數(shù)加起來的總和小于7。而1950年前后挪威數(shù)學家阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）提出的"塞爾伯格篩法"[15]則使得哥德巴赫猜想的研究前進了一大步。塞爾伯格利用求二次型極值的方法極大地改進了篩法，由此法可以得到篩函數(shù)的上界估計，結合布赫希塔布恒等式可以得到篩函數(shù)的下界估計。在此基礎上，維諾格拉多夫、王元等數(shù)學家先后完成了"3+3"、"a+b"（a+b<6）以及"2+3"的證明[10]。 阿特勒·塞爾伯格，挪威數(shù)學家。研究方向涵蓋解析數(shù)論，以及自守形式理論。獲得1950年的菲爾茲獎和1986年的沃爾夫數(shù)學獎。亞歷山大·布赫希塔布，蘇聯(lián)數(shù)論專家，以其對篩法的研究而聞名。
以上的結果中，比較遺憾的是無法證明偶數(shù)分拆成的兩個數(shù)中一定有一個是素數(shù)。主要原因就在于要證明形如"1+x"的命題時，需要估計篩函數(shù)S(A,P,z)的上界和下界時，需要估計主項與余項，并證明余項相對于主項可以忽略。這有點類似圓法的思路。不過"1+x"的估計涉及到算術級數(shù)中素數(shù)分布的均值定理，需要利用較為復雜的解析數(shù)論手段。
最早取得突破的是匈牙利數(shù)學家阿爾弗雷德·倫伊（Alfréd Rényi）[16]。他率先定性地證明了命題"1+x"，但卻沒能給出x的具體值。而在這一領域里，我國老一輩數(shù)學家取得了卓越的成績。1962年潘承洞利用倫伊的思路成功證明了"1+5"，同年王元指出潘承洞的結論實則可以推出"1+4"。
"中國解析數(shù)論學派"指以華羅庚為代表的數(shù)論學派，該學派對于質數(shù)分布與哥德巴赫猜想作出了許多重大貢獻。華羅庚，中國科學院院士，美國國家科學院外籍院士。他是我國解析數(shù)論、典型群、矩陣幾何、自守函數(shù)論與多元復變函數(shù)等領域研究的創(chuàng)始人與奠基者，也是中國在世界上最具影響力的數(shù)學家之一。王元，中國科學院院士。他首先將解析數(shù)論中的篩法用于哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究聞名。他首先確定命題"1+x"中x的具體數(shù)值，并證明命題"1+5"和"1+4"成立。潘承彪，中科院院士，著名數(shù)論學家，潘承洞胞弟，亦是數(shù)論學家張益唐在北京大學時的研究生導師。
而使用篩法的最好結果是由我國數(shù)學家陳景潤得到的。1966年，陳景潤在《科學通報》上發(fā)表了有關"1+2"的證明，即"任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)的和或者一個素數(shù)及一個2次殆素數(shù)的和"[17]。換言之，對于任給一個大偶數(shù)N，總可以找到奇素數(shù)p',p''或p1,p2,p3，使得下列兩式至少有一個成立： 1973年，陳景潤給出了"1+2"的詳細證明，同時改進了1966年研究的數(shù)值結果。是年4月，中國科學院主辦的《中國科學》上，公開發(fā)表了陳景潤的論文《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》[18]。在這一證明中，陳景潤對篩法作出了重大的改進，提出了一種新的加權篩法。因此"1+2"也被稱為陳氏定理。 上面僅僅是對于陳景潤"1+2"證明思路的簡單梳理，事實上其證明過程十分繁瑣，而且需要很高的技巧性。能夠最終得出"1+2"的證明，陳景潤無愧于數(shù)論大師之名。 陳景潤，福建福州人，大學畢業(yè)于廈門大學數(shù)學系。1953年到1954年被分配至北京市第四中學任教，后被"停職回鄉(xiāng)養(yǎng)病"。1954年，調回廈大任資料員，同時開展數(shù)論研究，次年擔任助教。1957年9月，華羅庚安排把陳景潤調入中國科學院數(shù)學研究所。1966年，證明了"1+2"（陳氏定理）。
陳景潤后來不斷改進自己的結果，從某種意義上來說已經(jīng)將篩法的威力發(fā)揮到了極致。但很可惜的是，陳景潤的加權篩法要證明最終哥德巴赫猜想（"1+1"）需要在加權篩中取x=2，而這將導致估計主項和余項變得難以實現(xiàn)。所以如今數(shù)學界的主流意見認為，最終證明哥德巴赫猜想，還需要新的思路或者新的數(shù)學工具，或者在現(xiàn)有的方法上進行顛覆性的改進。但無論如何，陳景潤已經(jīng)走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。 哥德巴赫猜想為國人所熟知，很大程度上要歸功于當代作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》[19]。在當時特殊的歷史時期，這篇報告文學使整個社會為之一震，同時也推動了我國"報告文學"這一文學題材的繁榮?？上У氖且舱且驗檫@篇報告文學，使得不少沒有受過正規(guī)數(shù)學訓練的數(shù)學愛好者投入到哥德巴赫猜想的"研究"之中。據(jù)說中科院在相當長的一段時間里，每年都會收到"幾麻袋"的討論或聲稱證明了哥德巴赫猜想的來信來稿。而筆者寫作本文的原因之一，也是希望粗略回顧和介紹哥德巴赫猜想與陳景潤的"陳氏定理"。同時希望讀者可以多多少少了解"1+2"、"1+1"之類的命題的真正內涵，而不至于望文生義，把哥德巴赫猜想視為一道普普通通的課后習題。

展望：未完待續(xù)的旅行

數(shù)學家與畫家和詩人一樣，是模式的創(chuàng)造者?！旮ダ住す_德·哈代
近年來，數(shù)論這一學科的研究中心似乎也在慢慢轉移，哥德巴赫猜想的研究熱度相對上個世紀中葉也有所下降。不過數(shù)學家對于以哥德巴赫猜想為代表的素數(shù)相關問題的研究從來沒有停止。比較著名的有前面提到的黎曼猜想以及孿生素數(shù)猜想。 回望哥德巴赫猜想的發(fā)展歷程，其發(fā)端似乎是數(shù)學家心血來潮的胡思亂想。事實上許多歷史上大名鼎鼎的猜想皆是如此。
如今不少人談數(shù)學而色變，不僅對于普通人，對于很多科技工作者來說也是這樣，希望千方百計地繞開數(shù)學這匹"猛獸"。為此不少數(shù)學家絞盡腦汁，要找出數(shù)學和日常生活的種種聯(lián)系。
其實，一方面數(shù)學本就與世界的發(fā)展密不可分，另一方面快節(jié)奏的時代追求"經(jīng)世致用"本也無可非議。只不過筆者此處更希望從數(shù)學本身來看待其存在的意義。如哈代所言，"數(shù)學家與畫家和詩人一樣，是模式的創(chuàng)造者"，數(shù)學本身是有其美感存在的。數(shù)學界追求真理的旅行，就是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造美的旅行。中科院物理所的曹則賢老師曾在他的書里提到，"讀數(shù)學、物理書和看小說一樣，并非完全能看懂的就是好的"[2]。但愿本文的讀者也不會被文中偶爾蹦出來的公式嚇到，而是可以透過這些繁雜的演算獲得屬于自己的思考。
"人是一株會思考的蘆葦。"沒有了思考，人類終將失去存在的意義。


參考文獻：
[1] Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind mathematical papyrus how did the ancient Egyptian scribe prepare it. Archive for History of Exact Sciences, 12(4), 291-298.
[2] 曹則賢 (2019). 驚艷一擊：數(shù)理史上的絕妙證明. 北京：外語教學與研究出版社.
[3] Stillwell, J . (2010) Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag.
[4] Pomerance, Carl (1982). The Search for Prime Numbers. Scientific American. 247 (6): 136–147.
[5] Weisstein, Eric W. "Goldbach Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https:// mathworld.wolfram.com/ Goldbach Conjecture.html.
[6] Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. (1923). Some Problems of Partitio Numerorum (III): On the expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica. 44: 1–70.
[7] Viggo Brun (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie". Bulletin des Sciences Mathématiques. 43: 100–104, 124–128.
[8] 王元 (1984). The Goldbach Conjecture. New Jersey: World Scientific.
[9] Halberstam, Heini and Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London-New York: Academic Press. 1974.
[10] 潘承洞，潘承彪 (1981). 哥德巴赫猜想. 北京：科學出版社.
[11] Helfgott, H. A. (2013). Major arcs for Goldbach's problem. arXiv preprint arXiv:1305.2897.
[12] Rademacher, H. (1924, December). Beitr?ge zur viggo brunschen methode in der zahlentheorie. In Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit?t Hamburg (Vol. 3, No. 1, pp. 12-30). Springer-Verlag.
[13] Estermann, T. (1932). Eine neue Darstellung und neue Anwendungen der Viggo Brunschen Methode. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1932(168), 106-116.
[14] Kuhn, P. (1941). Zur Viggo Brun'schen Siebmethode. I. Norske Vid. Selsk. Forh., Trondhjem, 14, 145-148.
[15] Selberg, A. (1984). On an elementary method in the theory of primes. In Goldbach Conjecture (pp. 151-154).
[16] "On the representation of even numbers as sums of a prime and an almost prime number,"Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., Vol. 12 (1948), pp. 57-78. (In Russian.)
[17] 陳景潤. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. 科學通報（英文版）. 1966, (9): 385–386.
[18] 陳景潤. 大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和. 中國科學A輯. 1973, (2): 111–128.
[19] 徐遲. 哥德巴赫猜想. 人民文學. 1978, (1): 53–68.
[20] https://asone.ai/polymath/ index.php?title=Bounded _gaps _between_primes.


關注【深圳科普】微信公眾號，在對話框：
回復【最新活動】，了解近期科普活動
回復【科普行】，了解最新深圳科普行活動
回復【研學營】，了解最新科普研學營
回復【科普課堂】，了解最新科普課堂
回復【團體定制】，了解最新團體定制活動
回復【科普基地】，了解深圳科普基地詳情
回復【科學防控】，學習疫情相關科普知識
回復【科普小達人】，報名參賽贏取萬元大獎